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高一数学教案集锦15篇
作为一名默默奉献的教育工作者，有必要进行细致的教案准备工作，教案有助于学生理解并掌握系统的知识。我们该怎么去写教案呢？以下是小编收集整理的高一数学教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
高一数学教案1
一、教材
首先谈谈我对教材的理解，《两条直线平行与垂直的判定》是人教A版高中数学必修2第三章3.1.2的内容，本节课的内容是两条直线平行与垂直的判定的推导及其应用，学生对于直线平行和垂直的概念已经十分熟悉，并且在上节课学习了直线的倾斜角与斜率，为本节课的学习打下了基础。
二、学情
教材是我们教学的工具，是载体。但我们的`教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。
三、教学目标
根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：
(一)知识与技能
掌握两条直线平行与垂直的判定，能够根据其判定两条直线的位置关系。
(二)过程与方法
在经历两条直线平行与垂直的判定过程中，提升逻辑推理能力。
(三)情感态度价值观
在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
四、教学重难点
我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：两条直线平行与垂直的判定。本节课的教学难点是：两条直线平行与垂直的判定的推导。
五、教法和学法
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用讲授法、练习法、小组合作等教学方法。
六、教学过程
下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。
(一)新课导入
首先是导入环节，那么我采用复习导入，回顾上节课所学的直线的倾斜角与斜率并顺势提问：能否通过直线的斜率，来判断两条直线的位置关系呢?
利用上节课所学的知识进行导入，很好的克服学生的畏难情绪。
(二)新知探索
接下来是教学中最重要的新知探索环节，我主要采用讲解法、小组合作、启发法等。
高一数学教案2
教学要求：能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体。
教学重点：画出三视图、识别三视图。
教学难点：识别三视图所表示的空间几何体。
教学过程：
一、新课导入：
1、 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？
2、 引入：从不同角度看庐山，有古诗：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上。
三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；
直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形。
用途：工程建设、机械制造、日常生活。
二、讲授新课：
1、 教学中心投影与平行投影：
① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。
② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
③ 平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。分正投影、斜投影。
讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果。
2、 教学柱、锥、台、球的三视图：
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图
讨论：三视图与平面图形的关系？画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高
结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果。 正视图、侧视图、俯视图。
③ 试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图。 (
④ 讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
⑤ 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的'形状。
（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）
3、 教学简单组合体的三视图：
① 画出教材P16 图(2)、(3)、(4)的三视图。
② 从教材P16思考中三视图，说出几何体。
4、 练习：
① 画出正四棱锥的三视图。
画出右图所示几何体的三视图。
③ 右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状。
5、 小结：投影法；三视图；顺与逆
三、巩固练习：练习：教材P17 1、2、3、4
第二课时 1.2.3 空间几何体的直观图
教学要求：掌握斜二测画法；能用斜二测画法画空间几何体的直观图。
教学重点：画出直观图。
高一数学教案3
本文题目：高一数学教案：函数的奇偶性
课题：1.3.2函数的奇偶性
一、三维目标：
知识与技能：使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。
情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
二、学习重、难点：
重点：函数的奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
三、学法指导：
学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解。对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固。
四、知识链接：
1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义：
2.分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象,并说出图象的对称性。
五、学习过程：
函数的'奇偶性：
(1)对于函数 ，其定义域关于原点对称：
如果______________________________________，那么函数 为奇函数;
如果______________________________________，那么函数 为偶函数。
(2)奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。
(3)奇函数在对称区间的增减性 ;偶函数在对称区间的增减性 。
六、达标训练：
A1、判断下列函数的奇偶性。
(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+ (4)f(x)=
A2、二次函数 ( )是偶函数,则b=___________ .
B3、已知 ，其中 为常数，若 ，则
_______ .
B4、若函数 是定义在R上的奇函数，则函数 的图象关于 ( )
(A) 轴对称 (B) 轴对称 (C)原点对称 (D)以上均不对
B5、如果定义在区间 上的函数 为奇函数，则 =_____ .
C6、若函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，那么当
时， =_______ .
D7、设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于 ( )
(A)0.5 (B) (C)1.5 (D)
D8、定义在 上的奇函数 ，则常数 ____ , _____ .
七、学习小结：
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。
八、课后反思：
高一数学教案4
教学目标
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；
（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；
（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
（1）知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.
（2）重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.
（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.
（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.
（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.
（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.
（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题：等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的`思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.
教学重点，难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1， ， ，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. （这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）
等比数列（板书）
1.等比数列的定义（板书）
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：
2.对定义的认识（板书）
（1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？
（3）公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是等比数列 ？为什么不能？
式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式（板书）
问题：用 和 表示第 项 .
①不完全归纳法
②叠乘法
，… ， ，这 个式子相乘得 ，所以 .
（板书）（1）等比数列的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.
（板书）（2）对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点；
②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.
高一数学教案5
一、教材
《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。
二、学情
学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的基础。
三、教学目标
(一)知识与技能目标
能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。
(二)过程与方法目标
经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。
(三)情感态度价值观目标
激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。
四、教学重难点
(一)重点
用解析法研究直线与圆的位置关系。
(二)难点
体会用解析法解决问题的数学思想。
五、教学方法
根据本节课教材内容的`特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。
六、教学过程
(一)导入新课
教师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避免撞到冰山呢?如何行驶便又会撞到冰山呢?
教师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。
设计意图：在已有的知识基础上，提出新的问题，有利于保持学生知识结构的连续性，同时开阔视野，激发学生的学习兴趣。
(二)新课教学——探究新知
教师提问如何判断直线与圆的位置关系，学生先独立思考几分钟，然后同桌两人为一组交流，并整理出本组同学所想到的思路。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对该学生的鼓励。
判断方法：
(1)定义法：看直线与圆公共点个数
即研究方程组解的个数，具体做法是联立两个方程，消去x(或y)后所得一元二次方程，判断△和0的大小关系。
(2)比较法：圆心到直线的距离d与圆的半径r做比较，
(三)合作探究——深化新知
教师进一步抛出疑问，对比两种方法，由学生观察实践发现，两种方法本质相同，但比较法只适合于直线与圆，而定义法适用范围更广。教师展示较为基础的题目，学生解答，总结思路。
已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1,判断它们的位置关系?
让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的解题思路。
当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，便可以直接利用点到直线的距离公式求d。类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。最后明确解题步骤。
(四)归纳总结——巩固新知
为了将结论由特殊推广到一般引导学生思考：
可由方程组的解的不同情况来判断：
当方程组有两组实数解时，直线l与圆C相交;
当方程组有一组实数解时，直线l与圆C相切;
当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离。
活动：我将抽取两位同学在黑板上扮演，并在巡视过程中对部分学生加以指导。最后对黑板上的两名学生的解题过程加以分析完善。通过对基础题的练习，巩固两种判断直线与圆的位置关系判断方法，并使每一个学生获得后续学习的信心。
(五)小结作业
在小结环节，我会以口头提问的方式：
(1)这节课学习的主要内容是什么?
(2)在数学问题的解决过程中运用了哪些数学思想?
设计意图：启发式的课堂小结方式能让学生主动回顾本节课所学的知识点。也促使学生对知识网络进行主动建构。
作业：在学生回顾本堂学习内容明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。
七、板书设计
我的板书本着简介、直观、清晰的原则，这就是我的板书设计。
高一数学教案6
一、教学目标
1．知识与技能
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、 教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?
三、 学法与教学用具
1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程 ㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)xf(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)xf(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。
2．为什么由︱a － b ︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：
0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；
由于︱a － b ︳＜，所以
︱x0 － a ︳＜b－a＜,︱x0 － b ︳＜∣ a－b∣＜,
即a或b 作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。
（三）、巩固深化，发展思维
1．学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的.近似解（精确到0.01）
问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
（1）本节我们学过哪些知识内容？
（2）你认为学习“二分法”有什么意义？
（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业
P92习题3.1A组第四题，第五题。
高一数学教案7
【内容与解析】
本节课要学的内容有函数的概念指的是函数的概念及符号的理解，理解它关键就是能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。学生已经学过了集合并且初中对函数的概念已经作了介绍，本节课的内容函数的概念就是在此基础上的发展的。由于它还与基本初等函数和函数模型等内容有必要的联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。教学的重点是函数的概念，函数的三要素，所以解决重点的.关键是通过实例领悟构成函数的三个要素；会求一些简单函数的定义域和值域。
【教学目标与解析】
1、教学目标
（1）理解函数的概念；
（2）了解区间的概念；
2、目标解析
（1）理解函数的概念就是指能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解区间的概念就是指能够体会用区间表示数集的意义和作用；
【问题诊断分析】
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是函数的概念及符号的理解，产生这一问题的原因是：函数本身就是一个抽象的概念，对学生来说一个难点。要解决这一问题，就要在通过从实际问题中抽象概况函数的概念，培养学生的抽象概况能力，其中关键是理论联系实际，把抽象转化为具体。
【教学过程】
问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t-5t2.
1.1这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？
1.2高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
设计意图：通过以上问题，让学生正确理解让学生体会用解析式或图象刻画两个变量之间的依赖关系，从问题的实际意义可知，在t的变化范围内任给一个t，按照给定的对应关系，都有唯一的一个高度h与之对应。
问题2：分析教科书中的实例(2)，引导学生看图并启发：在t的变化t按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧层空洞面积S与之相对应。
问题3：要求学生仿照实例(1)、(2)，描述实例(3)中恩格尔系数和时间的关系。
设计意图：通过这些问题，让学生理解得到函数的定义，培养学生的归纳、概况的能力。
问题4：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？
4.1在一个函数中，自变量x和函数值y的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？
4.2在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？
4.3一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
【例题】：
例1求下列函数的定义域
分析：求定义域就是使式子有意义的x的取值所构成的集合；定义域一定是集合！
例2已知函数
分析：理解函数f(x)的意义
例3下列函数中哪个与函数相等？
例4在下列各组函数中与是否相等？为什么？
分析：
（1）两个函数相等，要求定义域和对应关系都一致；
（2）用x还是用其它字母来表示自变量对函数实质而言没有影响.
【课堂目标检1测】
教科书第19页1、2.
【课堂小结】
1、理解函数的定义，函数的三要素，会球简单的函数的定义域和函数值；
2、理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。
高一数学教案8
一、指导思想：
使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。
1。获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2。提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3。提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4。发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5。提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6。具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的`思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
二、教材特点：
我们所使用的教材是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学（a版）》，它在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理继承，借签，发展，创新之间的关系，体现基础性，时代性，典型性和可接受性等到，具有如下特点：
1。亲和力：以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习激情。
2。问题性：以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神。
3。科学性与思想性：通过不同数学内容的联系与启发，强调类比，推广，特殊化，化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神。
4。时代性与应用性：以具有时代性和现实感的素材创设情境，加强数学活动，发展应用意识。
三、教法分析：
1。选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生看个究竟的冲动，以达到培养其兴趣的目的。
2。通过观察，思考，探究等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。
3。在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，尽可能养成其逻辑思维的习惯。
四、学情分析：
1、基本情况：12班共人，男生人，女生人；本班相对而言，数学尖子约人，中上等生约人，中等生约人，中下生约人，后进生约人。
14班共人，男生人，女生人；本班相对而言，数学尖子约人，中上等生约人，中等生约人，中下生约人，后进生约人。
2、两个班均属普高班，学习情况良好，但学生自觉性差，自我控制能力弱，因此在教学中需时时提醒学生，培养其自觉性。班级存在的最大问题是计算能力太差，学生不喜欢去算题，嫌麻烦，只注重思路，因此在以后的教学中，重点在于培养学生的计算能力，同时要进一步提高其思维能力。同时，由于初中课改的原因，高中教材与初中教材衔接力度不够，需在新授时适机补充一些内容。因此时间上可能仍然吃紧。同时，其底子薄弱，因此在教学时只能注重基础再基础，争取每一堂课落实一个知识点，掌握一个知识点。
五、教学措施：
1、激发学生的学习兴趣。由数学活动、故事、吸引人的课、合理的要求、师生谈话等途径树立学生的学习信心，提高学习兴趣，在主观作用下上升和进步。
2、注意从实例出发，从感性提高到理性；注意运用对比的方法，反复比较相近的概念；注意结合直观图形，说明抽象的知识；注意从已有的知识出发，启发学生思考。
3、加强培养学生的逻辑思维能力就解决实际问题的能力，以及培养提高学生的自学能力，养成善于分析问题的习惯，进行辨证唯物主义教育。
4、抓住公式的推导和内在联系；加强复习检查工作；抓住典型例题的分析，讲清解题的关键和基本方法，注重提高学生分析问题的能力。
5、自始至终贯彻教学四环节，针对不同的教材内容选择不同教法。
6、重视数学应用意识及应用能力的培养。
高一数学教案9
教学目标：
1.进一步理解对数函数的性质，能运用对数函数的相关性质解决对数型函数的常见问题.
2.培养学生数形结合的思想，以及分析推理的能力.
教学重点：
对数函数性质的应用.
教学难点：
对数函数的性质向对数型函数的'演变延伸.
教学过程：
一、问题情境
1.复习对数函数的性质.
2.回答下列问题.
(1)函数y=log2x的值域是 ;
(2)函数y=log2x(x≥1)的值域是 ;
(3)函数y=log2x(0
3.情境问题.
函数y=log2(x2+2x+2)的定义域和值域分别如何求呢?
二、学生活动
探究完成情境问题.
三、数学运用
例1 求函数y=log2(x2+2x+2)的定义域和值域.
练习：
(1)已知函数y=log2x的值域是[-2，3]，则x的范围是________________.
(2)函数 ，x(0，8]的值域是 .
(3)函数y=log (x2-6x+17)的值域 .
(4)函数 的值域是_______________.
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)=lg (2)f (x)=ln( -x)
例3 已知loga 0.75>1，试求实数a 取值范围.
例4 已知函数y=loga(1-ax)(a>0，a≠1).
(1)求函数的定义域与值域;
(2)求函数的单调区间.
练习：
1.下列函数(1) y=x-1;(2) y=log2(x-1);(3) y= ;(4)y=lnx，其中值域为R的有 (请写出所有正确结论的序号).
2.函数y=lg( -1)的图象关于 对称.
3.已知函数 (a>0，a≠1)的图象关于原点对称，那么实数m= .
4.求函数 ，其中x [ ，9]的值域.
四、要点归纳与方法小结
(1)借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域;
(2)换元法;
(3)能画出较复杂函数的图象，根据图象研究函数的性质(数形结合).
五、作业
课本P70～71-4，5，10，11.
高一数学教案10
一、教材分析
1、 教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中对函数概念理解的程度会直接影响其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、 教学目标及确立的依据：
教学目标：
(1) 教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
(2) 能力训练目标：通过教学培养的抽象概括能力、逻辑思维能力。
(3) 德育渗透目标：使懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学好其他的内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的'概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。 函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为能学好后面的知识打下坚实的基础。
学法：四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一(12)班和高一(11)全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起?
二. 新课讲授：
(1) 接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生归纳它们的共同性质(一对一，多对一)，进而给出映射的概念，表示符号f：a→b，及原像和像的定义。强调指出非空集合a到非空集合b的映射包括三部分即非空集合a、b和a到b的对应法则 f。进一步引导判断一个从a到b的对应是否为映射的关键是看a中的任意一个元素通过对应法则f在b中是否有唯一确定的元素与之对应。
(2)巩固练习课本52页第八题。
此练习能让更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1. 给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义(设a、b是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得a中的任何一个元素在集合b中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合a到集合b的映射，它包括非空集合a和b以及从a到b的对应法则f)，并说明把函f：a→b记为y=f(x)，其中自变量x的取值范围a叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)：x∈a}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使认识到函数与映射的区别与联系。(函数是非空数集到非空数集的映射)。
再以让判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：2. 函数是非空数集到非空数集的映射。
3. f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4. f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5. 集合a中的数的任意性，集合b中数的唯一性。
66. “f：a→b”表示一个函数有三要素：法则f(是核心)，定义域a(要优先)，值域c(上函数值的集合且c∈b)。
三.讲解例题
例1.问y=1(x∈a)是不是函数?
解：y=1可以化为y=0*x+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导从集合，映射的观点认识函数的定义。
四.课时小结：
1. 映射的定义。
2. 函数的近代定义。
3. 函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4. 函数近代定义的五大注意点。
五.课后作业及板书设计
书本p51 习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。
预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。
函数(一)
一、映射：
2.函数近代定义： 例题练习
二、函数的定义 [注]1—5
1.函数传统定义
三、作业：
高一数学教案11
【学习目标】
1、感受数学探索的成功感，提高学习数学的兴趣；
2、经历诱导公式的探索过程，感悟由未知到已知、复杂到简单的数学转化思想。
3、能借助单位圆的对称性理解记忆诱导公式，能用诱导公式进行简单应用。
【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用
【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用
【知识链接】（1）单位圆中任意角α的正弦、余弦的定义
（2）对称性：已知点P(x,)，那么，点P关于x轴、轴、原点对称的点坐标
【学习过程】
一、预习自学
阅读书第19页——20页内容，通过对－α、π－α、π＋α、2π－α、α的终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：
(1)- 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 的正弦函数、余弦函数关系
(2)角407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 的正弦函数、余弦函数关系
(3)角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 的正弦函数、余弦函数关系
(4)角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式与角 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 的正弦函数、余弦函数关系
二、合作探究
探究1、求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。
（1） 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 （2） 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 (3)sin(－1650°)；
探究2: 化简： 407[导学案]4.4单位圆的'对称性与诱导公式 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式（先逐个化简）
探究3、利用单位圆求满足 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 的角的集合。
三、学习小结
（1）你能说说化任意角的正（余）弦函数为锐角正（余）弦函数的一般思路吗？
（2）本节学习涉及到什么数学思想方法？
（3）我的疑惑有
【达标检测】
1、在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（- 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 ， 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 ）,
则sin(－α)= ;cs(α±π)= ;cs(π－α)=
2.求下列函数值:
（1）sin（ 407[导学案]4.4单位圆的对称性与诱导公式 ）= ； (2) cs210&rd;=
3、若csα=-1/2,则α的集合S=
高一数学教案12
教学目标：
使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.
教学重点：
函数的概念，函数定义域的求法.
教学难点：
函数概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?
(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).
设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：
问题一：y=1(xR)是函数吗?
问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?
(学生思考，很难回答)
[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.
在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.
在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.
在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.
请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?
[生]一对一、二对一、一对一.
[师]这3个对应的共同特点是什么呢?
[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.
[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.
现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.
一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.
反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.
y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.
Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.
[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?
(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示
Ⅲ.例题分析
[例1]求下列函数的定义域.
(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.
解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义
这个函数的定义域是{x|x2}
(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义
函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)
(3) x+10 x2
这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.
从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;
(4)如果f(x)是由几个部分的'数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.
[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11
注意：f(a)是常量，f(x)是变量 ，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.
下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?
[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.
[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢!
[生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.
[师]生乙的回答完整吗?
[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).
[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?
[生]函数的定义.
[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?
(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)
(无人回答)
[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!
(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)
[例2]求下列函数的值域
(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}
(3)y=x2+4x+3 (-31)
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.
对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.
解：(1)yR
(2)y{1，0，-1}
(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，
当x[-3，1]时，得y[-1，8]
Ⅳ.课堂练习
课本P24练习17.
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳)
Ⅵ.课后作业
课本P28，习题1、2. 文 章来
高一数学教案13
教学目标
1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．
3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．
教学重点与难点
教学重点：函数单调性的概念．
教学难点：函数单调性的判定．
教学过程设计
一、引入新课
师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
（用投影幻灯给出两组函数的图象．）
第一组：
第二组：
生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．
师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．
（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）
二、对概念的分析
（板书课题：）
师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．
（学生朗读．）
师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？
生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．
师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！
（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）
师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．
（指图说明．）
师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．
（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）
师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的.自变量对应……
（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）
生：较大的函数值的函数．
师：那么减函数呢？
生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．
（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）
师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？
（学生思索．）
学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）
生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．
师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能．因为此时函数值是一个数．
师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．
（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）
师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．
师：还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．
师：你答的很对．能解释一下为什么吗？
（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）
师：“属于”是什么意思？
生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．
师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？
生：可以．
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？
（让学生思考片刻．）
生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．
师：那么如何来说明“都有”呢？
生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．
师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．
（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）
师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．
（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）
三、概念的应用
例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
（用投影幻灯给出图象．）
生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．
生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？
师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．
例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．
师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．
（指出用定义证明的必要性．）
师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．
（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）
师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．
生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，
f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，
所以f（x）是增函数．
师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）
调函数吗？并用定义证明你的结论．
师：你的结论是什么呢？
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．
生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．
生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．
上是减函数．
（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：
（1）分式问题化简方法一般是通分．
（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1．
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．
对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）
四、课堂小结
师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？
（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）
生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．
五、作业
1．课本P53练习第1，2，3，4题．
数．
=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）
=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）
+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．
课堂教学设计说明
是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．
高一数学教案14
教学目的：
（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法
（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点：集合的基本概念及表示方法
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
集合是中学数学的一个重要的基本概念 在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题 例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集 至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具 这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础 例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。
本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明 然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。
这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念 学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义 本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念 在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识 教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集 ”这句话，只是对集合概念的描述性说明。
教学过程：
一、复习引入：
1、简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
2、教材中的章头引言；
3、集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？
（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的.每个对象叫做这个集合的元素。
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合 记作N，
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集 记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合 记作Z ，
（4）有理数集：全体有理数的集合 记作Q ，
（5）实数集：全体实数的集合 记作R
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0
（2）非负整数集内排除0的集 记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
三、练习题：
1、教材P5练习1、2
2、下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数 （不确定）
（2）好心的人 （不确定）
（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
3、设a，b是非零实数，那么 可能取的值组成集合的元素是_—2，0，2__
4、由实数x，－x，｜x｜， 所组成的集合，最多含（ A ）
（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素
5、设集合G中的元素是所有形如a＋b （a∈Z， b∈Z）的数，求证：
（1） 当x∈N时， x∈G；
（2） 若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而 不一定属于集合G
证明（1）：在a＋b （a∈Z， b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，则x= x＋0* = a＋b ∈G，即x∈G
证明（2）：∵x∈G，y∈G，
∴x= a＋b （a∈Z， b∈Z），y= c＋d （c∈Z， d∈Z）
∴x+y=（ a＋b ）+（ c＋d ）=（a+c）+（b+d）
∵a∈Z， b∈Z，c∈Z， d∈Z
∴（a+c） ∈Z， （b+d） ∈Z
∴x+y =（a+c）+（b+d） ∈G，
又∵ ＝且 不一定都是整数，
∴ ＝ 不一定属于集合G
四、小结：本节课学习了以下内容：
1、集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）
2、集合元素的性质：确定性，互异性，无序性
3、常用数集的定义及记法
高一数学教案15
第二十四教时
教材：倍角公式，推导和差化积及积化和差公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的`训练;同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 +
(《教学与测试》P115 例三)
解：
又∵tan2 0，tan 0 ，
2 + =
例二、 已知sin cos = ， ，求 和tan的值
解：∵sin cos =
化简得：
∵ 即
二、 积化和差公式的推导
sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]
sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]
cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]
cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将积式化为和差，有利于简化计算。(在告知公式前提下)
例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边
原式得证
三、 和差化积公式的推导
若令 + = ， = ，则 ， 代入得：
这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。
例四、 已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值
解：∵cos cos = ， ①
sin sin = ， ②
四、 小结：和差化积，积化和差
五、 作业：《课课练》P3637 例题推荐 13
P3839 例题推荐 13
P40 例题推荐 13